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标题: [深圳特色][问答网]程序的时间复杂度和空间复杂度的概念.... [打印本页]
作者: Jim-剣◆﹏    时间: 2016-1-11 00:01
标题: [深圳特色][问答网]程序的时间复杂度和空间复杂度的概念....
本帖最后由 Jim-剣◆﹏ 于 2016-1-11 00:04 编辑

有学员出去面试，问到笔试题中的一段代码的时间复杂度是多少？回答不出来，回来问

一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：
  1. a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f
  2. a ！ =0时，时间复杂度就是O(2^n);
  3. a=0,b<>0 =>O(n^3);
  4. a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推
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  1. (1)   for(i=1;i<=n;i++)   //循环了n*n次，当然是O(n^2)
  2.             for(j=1;j<=n;j++)
  3.                  s++;
  4. (2)   for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)
  5.             for(j=i;j<=n;j++)
  6.                  s++;
  7. (3)   for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2)
  8.             for(j=1;j<=i;j++)
  9.                  s++;
  10. (4)   i=1;k=0;
  11.       while(i<=n-1){
  12.            k+=10*i;
  13.       i++;      }//循环了
  14. n-1≈n次，所以是O(n)

  16. (5)   for(i=1;i<=n;i++)
  17.              for(j=1;j<=i;j++)
  18.                  for(k=1;k<=j;k++)
  19.                        x=x+1;
  20. //
  21. 循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)
  22. 另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：

  24. log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)
  25. 所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的
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三、
定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;                    

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
  1. O(n^2)

  3. 2.1. 交换i和j的内容
  4.      sum=0；                 （一次）
  5.      for(i=1;i<=n;i++)       （n次 ）
  6.         for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）
  7.          sum++；       （n^2次 ）
  8. 解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

  10. 2.2.   
  11.     for (i=1;i<n;i++)
  12.     {
  13.         y=y+1;         ①   
  14.         for (j=0;j<=(2*n);j++)   
  15.            x++;        ②      
  16.     }         
  17. 解： 语句1的频度是n-1
  18.           语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
  19.           f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
  20.           该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         

  22. O(n)      
  23.                                                       
  24. 2.3.
  25.     a=0;
  26.     b=1;                      ①
  27.     for (i=1;i<=n;i++) ②
  28.     {  
  29.        s=a+b;　　　　③
  30.        b=a;　　　　　④  
  31.        a=s;　　　　　⑤
  32.     }
  33. 解：语句1的频度：2,        
  34.            语句2的频度： n,        
  35.           语句3的频度： n-1,        
  36.           语句4的频度：n-1,   
  37.           语句5的频度：n-1,                                 
  38.           T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
  39.                                                                                                 
  40. O(log2n )

  42. 2.4.
  43.      i=1;       ①
  44.     while (i<=n)
  45.        i=i*2; ②
  46. 解： 语句1的频度是1,  
  47.           设语句2的频度是f(n),   则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n   
  48.           取最大值f(n)= log2n,
  49.           T(n)=O(log2n )

  51. O(n^3)

  53. 2.5.
  54.     for(i=0;i<n;i++)
  55.     {  
  56.        for(j=0;j<i;j++)  
  57.        {
  58.           for(k=0;k<j;k++)
  59.              x=x+2;  
  60.        }
  61.     }
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解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).
                                 

我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。
下面是一些常用的记法：


访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。
指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。

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作者: zhentianjue    时间: 2016-1-19 22:04
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