一、逻辑回归
1.逻辑回归要解决的问题中y的取值是0或1，故通过y=g(XW)的形式来拟合p(y|X)的条件分布公式。其中g(x)=(1+e^-x)^-1。使用该函数的意思是认为y的对数几率ln(y/(1-y))=XW的线性关系。变换之后即可得到g(x)的形式。
2. 逻辑回归假设p（y|X）在参数W的情况下服从p(1)=g（XW）的伯努利分布，即p(y
|X)=g(XW)^y*(1-g(XW))^(1-y)。计算对数似然，得要最小化的交叉熵损失函数sum(y*ln[g(XW)]+(1-y)*ln[1-g(XW)])。
3.梯度下降：与线性回归的梯度下降相同。用来更新的梯度为（y-g(XW)）xj。这里相对线性回归仅仅将XW换成了g(XW)。
4.牛顿法：牛顿法相当于随机初始参数值，然后在参数当前点处作向切线，将其与某坐标轴的交点值作为该参数的更新值，直到f(w)为0为止。用几何方式推导，即得更新公式为w(t+1)=w(t)-[f(w(t))/f’(w(t))]。在逻辑回归中，我们要令损失函数求导为0，可令l’(w)=f(w)，而w是向量，则迭代规则为w=w-Hessian的逆矩阵*l对w的梯度向量。牛顿法往往比梯度法收敛快。在高维时，矩阵H的计算会非常耗时。
5.优缺点：优点 ：速度快，适合二分类问题，简单易于理解，直接看到各个特征的权重，能容易地更新模型吸收新的数据。
缺点：对数据和场景的适应能力有局限，不如决策树算法适应性那么强。
二、广义线性模型（GLM）
1.GLM有三个假设：
（1）假设p(y|X)在参数W下，p(y|X;W)服从某种分布，这个分布是指数分布族的一员。
形如p(y;eta)=b(y)*exp(eta^T*T(y)-a(eta))。其中eta为分布的自然参数，T(y)是充分统计量，通常T(y)=y。需定义的参数有a、b、T三个函数，确定后就选中了一个假设的分布。
（2）若选定y的条件分布符合假设（1）中的某个分布，则给定x的情况下，我们选取函数h_w(X)来拟合y，h_w(x)=E(T(y)|X;W)。
（3）eta=XW。
2.线性回归在GLM中的推导
(1)线性回归假设高斯分布p(y|X;W)=p(y;XW)=p(y;mu)=[1/(sqrt(2pi)*sigma)] * exp(-[(y-mu)^2/(2sigma^2)])。该公式根据GLM假设(1)来套，eta=mu=XW，T(y)=y，a=1/2*eta^2，
b=1/(sqrt(2pi)*sigma) * exp(-1/2*y^2)
(2)于是根据GLM假设(2)的结论，h_w(X)=E(y|X;W)=mu=XW。
3.逻辑回归在GLM中的推导
（1）将伯努利分布进行变换，p(y;fi)=p(y|X;w)=p(y;g(XW))=原分布函数加e的次方和ln。推导后用GLM假设(1)套进去，eta=XW=ln[fi/(1-fi)]，T(y)=y，a=-ln(1-fi)，b(y)=1。
（2）根据GLM假设(2)，h_W(X)=E(y|X;W)=fi。将eta与fi的等式变换，即得到fi=g(XW)。
4.Softmax Regression在GLM中的推导
1.SR假设用来解决多分类问题，所以目标y属于{1,2,3,4,5…k}中的一个，k为类别数，p(y=i)=fi(i)，所有fi累加为1。和伯努利分布相同，参数fi比类别数少一个。类似于伯努利分布，可设该问题中的y服从分布p(y|X;W)=fi_1^I(y=1)*fi_2^I(y=2)*。。。
I(y=1)在y=1时为1，否则为0，称为指示器函数。则以上函数的意思为当y=i的概率为fi_i。
2.将外层加exp内层加ln来推导，套GLM中假设(1)的形式，类似逻辑回归，eta=[lnfi_1/(1-所有fi之和)，lnfi_2/(1-所有fi)。。。到第k-1项]^T，T(y)=[I(y=1),I(y=2)。。。I(y=k-1)]^T，a=-ln(1-所有fi之和)，b(y)=1。
3.根据GLM中的假设(2)，h_W(X)=E(T(y)|X;W)=[fi_1,fi_2,fi_3…fi_(k-1)]^T。根据eta=XW（此处W不再是向量，而是行数等于特征数、列数等于类别数-1的参数矩阵），又根据eta的公式，h=[exp(XW1)/sum(exp(XW)。。。直到k-1项)]。这就是用来拟合y的函数。求对数似然，SR可用梯度下降或者牛顿法均可求解。
4. 对于互斥的多分类问题，这种模型比较合适，而对于非互斥的多分类问题，构建k个one-vs-all逻辑回归模型更为合适。
三、各种多分类学习方案
方案一：one-v-one(OvO)。将数据集分开成每列训练集一份，两两组合解二分类问题训练，测试时最终得到n(n-1)/2个分类结果，投票决定每个样本的类别。该方案的问题是每个问题训练样本较上。
方案二：one-v-all(OvR)。每次讲一个阳历作为正例其他作为反例进行训练。测试时选取置信度最大的预测为正例的结果。问题为正负例严重不平衡。
方案二训练n个分类器，方案一训练n(n-1)/2个，方案一存储和时间开销通常比二大，但在类别很多时，由于方案一每次只用两个类的样例训练，方案二用全部样例，所以存储及时间开销反而小。测试性能看具体数据分布而定。
方案三：MvM。每次取若干类为正，若干类为反。OvO和OvR都是MvM的特例。可以使用纠错输出码(EOOC)来解决该问题。
【转载】https://blog.csdn.net/humothetrader/article/details/81630156
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