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标题: 【上海校区】如何分析一个“排序算法”？ [打印本页]
作者: 梦缠绕的时候 时间: 2019-11-12 09:32
标题: 【上海校区】如何分析一个“排序算法”？
如何分析一个“排序算法”？1、排序算法的执行效率对于排序算法执行效率的分析，我们一般会从这三个方面来衡量：
1.1.最好、最坏、平均时间复杂度我们在分析排序算法的时间复杂度时，要分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度。除此之外，你还要说出最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。
为什么要区分这三种时间复杂度呢？第一，有些排序算法会区分，为了好对比，所以我们最好都做一下区分。第二，对于要排序的数据，有的接近有序，有的完全无序。有序度不同的数据，对于排序的执行时间肯定是有影响的，我们要知道排序算法在不同数据下的性能表现。
1.2.时间复杂度的系数、常数 、低阶我们知道，时间复杂度反应的是数据规模n很大的时候的一个增长趋势，所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。但是实际的软件开发中，我们排序的可能是10个、100个、1000个这样规模很小的数据，所以，在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候，我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来。
1.3.比较次数和交换（或移动）次数这一节和下一节讲的都是基于比较的排序算法。基于比较的排序算法的执行过程，会涉及两种操作，一种是元素比较大小，另一种是元素交换或移动。所以，如果我们在分析排序算法的执行效率的时候，应该把比较次数和交换（或移动）次数也考虑进去。
2、排序算法的内存消耗我们前面讲过，算法的内存消耗可以通过空间复杂度来衡量，排序算法也不例外。不过，针对排序算法的空间复杂度，我们还引入了一个新的概念，原地排序（Sorted in place）。原地排序算法，就是特指空间复杂度是O(1)的排序算法。
3、排序算法的稳定性稳定性千万不要忽略，仅仅用执行效率和内存消耗来衡量排序算法的好坏是不够的。针对排序算法，我们还有一个重要的度量指标，稳定性。这个概念是说，如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。
我通过一个例子来解释一下。比如我们有一组数据2，9，3，4，8，3，按照大小排序之后就是2，3，3，4，8，9。
这组数据里有两个3。经过某种排序算法排序之后，如果两个3的前后顺序没有改变，那我们就把这种排序算法叫作稳定的排序算法；如果前后顺序发生变化，那对应的排序算法就叫作不稳定的排序算法。 你可能要问了，两个3哪个在前，哪个在后有什么关系啊，稳不稳定又有什么关系呢？为什么要考察排序算法的稳定性呢？
很多数据结构和算法课程，在讲排序的时候，都是用整数来举例，但在真正软件开发中，我们要排序的往往不是单纯的整数，而是一组对象，我们需要按照对象的某个key来排序。
比如说，我们现在要给电商交易系统中的“订单”排序。订单有两个属性，一个是下单时间，另一个是订单金额。如果我们现在有10万条订单数据，我们希望按照金额从小到大对订单数据排序。对于金额相同的订单，我们希望按照下单时间从早到晚有序。对于这样一个排序需求，我们怎么来做呢？
最先想到的方法是：我们先按照金额对订单数据进行排序，然后，再遍历排序之后的订单数据，对于每个金额相同的小区间再按照下单时间排序。这种排序思路理解起来不难，但是实现起来会很复杂。
借助稳定排序算法，这个问题可以非常简洁地解决。解决思路是这样的：我们先按照下单时间给订单排序，注意是按照下单时间，不是金额。排序完成之后，我们用稳定排序算法，按照订单金额重新排序。两遍排序之后，我们得到的订单数据就是按照金额从小到大排序，金额相同的订单按照下单时间从早到晚排序的。为什么呢？
稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象，在排序之后的前后顺序不变。第一次排序之后，所有的订单按照下单时间从早到晚有序了。在第二次排序中，我们用的是稳定的排序算法，所以经过第二次排序之后，相同金额的订单仍然保持下单时间从早到晚有序。
到这里，分析一个“排序算法”就结束了，你get到了吗？接下来，我们进入实战算法分析。
开始分析冒泡“排序算法”1.冒泡排序描述冒泡排序描述：冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复n次，就完成了n个数据的排序工作。
2.图解冒泡排序
如果还是不能一眼看出其灵魂，没事，我还有一招：
怎么样，够不够直观，就是有点慢，哈哈~测试效果：
4.代码优化冒泡排序实际上，刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。我这里还有另外一个例子，这里面给6个元素排序，只需要4次冒泡操作就可以了。
// 冒泡排序，a表示数组，n表示数组大小public void bubbleSort(int[] a, int n) { if (n <= 1) return; for (int i = 0; i < n; ++i) { // 提前退出冒泡循环的标志位 boolean flag = false; for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) { if (a[j] > a[j+1]) { // 交换 int tmp = a[j]; a[j] = a[j+1]; a[j+1] = tmp; flag = true; // 表示有数据交换 } } if (!flag) break; // 没有数据交换，提前退出 }}现在，结合刚才我分析排序算法的三个方面，开始分析冒泡排序算法。
第一：冒泡排序是原地排序算法吗？首先，原地排序算法就是特指空间复杂度是O(1)的排序算法，我在上文提及过的，再提一遍（我猜你们肯定没仔细看文章。。。）
冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为O(1)，是一个原地排序算法。
第二：冒泡排序是稳定的排序算法吗？在冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，我们不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序，所以冒泡排序是稳定的排序算法。
第三：冒泡排序的时间复杂度是多少？最好情况下，要排序的数据已经是有序的了，我们只需要进行一次冒泡操作，就可以结束了，所以最好情况时间复杂度是O(n)。而最坏的情况是，要排序的数据刚好是倒序排列的，我们需要进行n次冒泡操作，所以最坏情况时间复杂度为O(n2)，平均情况下的时间复杂度就是O(n2)。
开始分析“插入排序算法”1.插入排序描述插入排序（Insertion-Sort）的算法描述是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，通常采用in-place排序（即只需用到O(1)的额外空间的排序），因而在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。
2.图解插入排序
同样，我也准备了数字版的，是不是很贴心？
现在，结合刚才我分析排序算法的三个方面，开始分析插入排序算法。
第一：插入排序是原地排序算法吗？从实现过程可以很明显地看出，插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是O(1)，也就是说，这是一个原地排序算法。
第二：插入排序是稳定的排序算法吗？在插入排序中，对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序算法。
第三：插入排序的时间复杂度是多少？如果要排序的数据已经是有序的，我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下，最好是时间复杂度为O(n)。注意，这里是从尾到头遍历已经有序的数据。
如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为O(n2)。
还记得我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是多少吗？没错，是O(n)。所以，对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行n次插入操作，所以平均时间复杂度为O(n2)。
开始分析“选择排序算法”1.选择排序描述选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是：第一次从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，存放在序列的起始位置，然后再从剩余的未排序元素中寻找到最小（大）元素，然后放到已排序的序列的末尾。以此类推，直到全部待排序的数据元素的个数为零。选择排序是不稳定的排序方法。
2.图解选择排序3.代码实现选择排序public class SelectSort { public static void main(String[] args) { int[] arr = new int[] {3,4,5,7,1,2,0,3,6,8}; selectSort(arr); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } //选择排序 public static void selectSort(int[] arr) { //遍历所有的数 for(int i=0;i<arr.length;i++) { int minIndex=i; //把当前遍历的数和后面所有的数依次进行比较，并记录下最小的数的下标 for(int j=i+1;j<arr.length;j++) { //如果后面比较的数比记录的最小的数小。 if(arr[minIndex]>arr[j]) { //记录下最小的那个数的下标 minIndex=j; } } //如果最小的数和当前遍历数的下标不一致,说明下标为minIndex的数比当前遍历的数更小。 if(i!=minIndex) { int temp=arr; arr=arr[minIndex]; arr[minIndex]=temp; } } }}4.分析选择排序算法选择排序算法是一种原地、不稳定的排序算法，最好时间复杂度情况：T(n) = O(n2) 最差时间复杂度情况：T(n) = O(n2) 平均时间复杂度情况：T(n) = O(n2)
开始分析“希尔排序算法”1.希尔排序描述希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序，同时该算法是冲破O(n2）的第一批算法之一。它与插入排序的不同之处在于，它会优先比较距离较远的元素。希尔排序又叫缩小增量排序。希尔排序是把记录按下表的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。
希尔排序常规步骤：
1、选择增量gap=length/2
2、缩小增量继续以gap = gap/2的方式，n/2,(n/2)/2...1 ，有点晕了对吧，还是看图解吧哈哈~
同样是二图（捂脸）
希尔排序算法是一种原地、不稳定的排序算法，最好时间复杂度情况：T(n) = O(nlog2 n) 最差时间复杂度情况：T(n) = O(nlog2 n) 平均时间复杂度情况：T(n) =O(nlog2n)
开始分析“快速排序算法”1.快速排序描述我们习惯性把它简称为“快排”。快排利用的也是分治思想。乍看起来，它有点像归并排序，但是思路其实完全不一样。通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。
快速排序常规步骤：
1、从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot），一般第一个基数取第一个数；
2、重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；
3、递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。
2.图解快速排序
貌似上图太过于抽象，还是看下图吧，哈哈~
快速排序算法是一种原地、不稳定的排序算法，最好时间复杂度情况：T(n) = O(nlogn) 最差时间复杂度情况：T(n) = O(n2) 平均时间复杂度情况：T(n) = O(nlogn)
开始分析“并归排序算法”归并排序（MERGE-SORT）是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
1.并归排序描述归并操作的工作原理如下：
第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
重复步骤3直到某一指针超出序列尾
将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾
2.图解并归排序3.代码实现并归排序public class MergeSort { public static void main(String[] args) { int[] arr = new int[] {1,3,5,2,4,6,8,10}; System.out.println(Arrays.toString(arr)); mergeSort(arr, 0, arr.length-1); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } //归并排序 public static void mergeSort(int[] arr,int low,int high) { int middle=(high+low)/2; if(low<high) { //处理左边 mergeSort(arr, low, middle); //处理右边 mergeSort(arr, middle+1, high); //归并 merge(arr,low,middle,high); } } public static void merge(int[] arr,int low,int middle, int high) { //用于存储归并后的临时数组 int[] temp = new int[high-low+1]; //记录第一个数组中需要遍历的下标 int i=low; //记录第二个数组中需要遍历的下标 int j=middle+1; //用于记录在临时数组中存放的下标 int index=0; //遍历两个数组取出小的数字，放入临时数组中 while(i<=middle&&j<=high) { //第一个数组的数据更小 if(arr<=arr[j]) { //把小的数据放入临时数组中 temp[index]=arr; //让下标向后移一位； i++; }else { temp[index]=arr[j]; j++; } index++; } //处理多余的数据 while(j<=high) { temp[index]=arr[j]; j++; index++; } while(i<=middle) { temp[index]=arr; i++; index++; } //把临时数组中的数据重新存入原数组 for(int k=0;k<temp.length;k++) { arr[k+low]=temp[k]; } }}4.分析并归排序算法并归排序算法是一种稳定的排序算法，最好时间复杂度情况：T(n) = O(n) 最差时间复杂度情况：T(n) = O(nlogn) 平均时间复杂度情况：T(n) = O(nlogn)
开始分析“基数排序算法”基数排序也是非比较的排序算法，对每一位进行排序，从最低位开始排序，复杂度为O(kn),为数组长度，k为数组中的数的最大的位数；基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序。最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。
2.图解基数排序小提示：注意进度条挡住的0~9的数字归类
3.代码实现基数排序public class RadixSort { public static void main(String[] args) { int[] arr = new int[] {23,6,189,45,9,287,56,1,798,34,65,652,5}; radixSort(arr); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } public static void radixSort(int[] arr) { //存最数组中最大的数字 int max=Integer.MIN_VALUE; for(int i=0;i<arr.length;i++) { if(arr>max) { max=arr; } } //计算最大数字是几位数 int maxLength = (max+"").length(); //用于临时存储数据的数组 int[][] temp = new int[10][arr.length]; //用于记录在temp中相应的数组中存放的数字的数量 int[] counts = new int[10]; //根据最大长度的数决定比较的次数 for(int i=0,n=1;i<maxLength;i++,n*=10) { //把每一个数字分别计算余数 for(int j=0;j<arr.length;j++) { //计算余数 int ys = arr[j]/n%10; //把当前遍历的数据放入指定的数组中 temp[ys][counts[ys]] = arr[j]; //记录数量 counts[ys]++; } //记录取的元素需要放的位置 int index=0; //把数字取出来 for(int k=0;k<counts.length;k++) { //记录数量的数组中当前余数记录的数量不为0 if(counts[k]!=0) { //循环取出元素 for(int l=0;l<counts[k];l++) { //取出元素 arr[index] = temp[k][l]; //记录下一个位置 index++; } //把数量置为0 counts[k]=0; } } } } }4.分析基数排序算法基数排序算法是一种稳定的排序算法，最好时间复杂度情况：T(n) = O(n * k) 最差时间复杂度情况：T(n) = O(n * k) 平均时间复杂度情况：T(n) = O(n * k)。
开始分析“堆排序算法”1.堆排序描述堆排序（英语：Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。
在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点（在优先队列中使用堆的话堆中的最小值位于根节点）。堆中定义以下几种操作：
最大堆调整（Max Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点
创建最大堆（Build Max Heap）：将堆中的所有数据重新排序
堆排序（HeapSort）：移除位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算
2.图解堆排序3.代码实现堆排序public class HeapSort { public static void main(String[] args) { int[] arr = new int[] {9,6,8,7,0,1,10,4,2}; heapSort(arr); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } public static void heapSort(int[] arr) { //开始位置是最后一个非叶子节点，即最后一个节点的父节点 int start = (arr.length-1)/2; //调整为大顶堆 for(int i=start;i>=0;i--) { maxHeap(arr, arr.length, i); } //先把数组中的第0个和堆中的最后一个数交换位置，再把前面的处理为大顶堆 for(int i=arr.length-1;i>0;i--) { int temp = arr[0]; arr[0]=arr; arr=temp; maxHeap(arr, i, 0); } } public static void maxHeap(int[] arr,int size,int index) { //左子节点 int leftNode = 2*index+1; //右子节点 int rightNode = 2*index+2; int max = index; //和两个子节点分别对比，找出最大的节点 if(leftNode<size&&arr[leftNode]>arr[max]) { max=leftNode; } if(rightNode<size&&arr[rightNode]>arr[max]) { max=rightNode; } //交换位置 if(max!=index) { int temp=arr[index]; arr[index]=arr[max]; arr[max]=temp; //交换位置以后，可能会破坏之前排好的堆，所以，之前的排好的堆需要重新调整 maxHeap(arr, size, max); } }}4.分析堆排序算法基数排序算法是一种原地、不稳定的排序算法，最好时间复杂度情况：T(n) = O(nlogn) 最差时间复杂度情况：T(n) = O(nlogn) 平均时间复杂度情况：：T(n) = O(nlogn)
为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎？基本的知识都讲完了，不知道各位有木有想过这样一个问题：冒泡排序和插入排序的时间复杂度都是O(n2)，都是原地排序算法，为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎呢？
我们前面分析冒泡排序和插入排序的时候讲到，冒泡排序不管怎么优化，元素交换的次数是一个固定值，是原始数据的逆序度。插入排序是同样的，不管怎么优化，元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。
但是，从代码实现上来看，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要3个赋值操作，而插入排序只需要1个。我们来看这段操作：
冒泡排序中数据的交换操作：if (a[j] > a[j+1]) { // 交换 int tmp = a[j]; a[j] = a[j+1]; a[j+1] = tmp; flag = true;}插入排序中数据的移动操作：if (a[j] > value) { a[j+1] = a[j]; // 数据移动} else { break;}我们把执行一个赋值语句的时间粗略地计为单位时间（unit_time），然后分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是K的数组进行排序。用冒泡排序，需要K次交换操作，每次需要3个赋值语句，所以交换操作总耗时就是3*K单位时间。而插入排序中数据移动操作只需要K个单位时间。
这个只是我们非常理论的分析，为了实验，针对上面的冒泡排序和插入排序的Java代码，我写了一个性能对比测试程序，随机生成10000个数组，每个数组中包含200个数据，然后在我的机器上分别用冒泡和插入排序算法来排序，冒泡排序算法大约700ms才能执行完成，而插入排序只需要100ms左右就能搞定！
所以，虽然冒泡排序和插入排序在时间复杂度上是一样的，都是O(n2)，但是如果我们希望把性能优化做到极致，那肯定首选插入排序。插入排序的算法思路也有很大的优化空间，我们只是讲了最基础的一种。如果你对插入排序的优化感兴趣，可以自行再温习一下希尔排序。
下面是八大经典算法的分析图：
到这里，以上八大经典算法分析，都是基于数组实现的。如果数据存储在链表中，这些排序算法还能工作吗？如果能，那相应的时间、空间复杂度又是多少呢？期待大牛评论出来~
作者: 梦缠绕的时候 时间: 2019-11-12 09:32
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