决策树算法起源于E.B.Hunt等人于1966年发表的论文“experiments in Induction”，但真正让决策树成为机器学习主流算法的还是Quinlan（罗斯.昆兰）大神（2011年获得了数据挖掘领域最高奖KDD创新奖），昆兰在1979年提出了ID3算法，掀起了决策树研究的高潮。现在最常用的决策树算法是C4.5是昆兰在1993年提出的。（关于为什么叫C4.5，还有个轶事：因为昆兰提出ID3后，掀起了决策树研究的高潮，然后ID4，ID5等名字就被占用了，因此昆兰只好让讲自己对ID3的改进叫做C4.0，C4.5是C4.0的改进）。现在有了商业应用新版本是C5.0link。
一、决策树的基本概念
        顾名思义，决策树就是一棵树，一颗决策树包含一个根节点、若干个内部结点和若干个叶结点；叶结点对应于决策结果，其他每个结点则对应于一个属性测试；每个结点包含的样本集合根据属性测试的结果被划分到子结点中；根结点包含样本全集，从根结点到每个叶子结点的路径对应了一个判定测试序列。下面直接上个图，让大家看下决策树是怎样决策的（以二元分类为例），图中红线表示给定一个样例（表中数据）决策树的决策过程：




（该图为原创）

二、如何生成决策树

• 信息增益
  

        决策树学习的关键在于如何选择最优的划分属性，所谓的最优划分属性，对于二元分类而言，就是尽量使划分的样本属于同一类别，即“纯度”最高的属性。那么如何来度量特征（features）的纯度，这时候就要用到“信息熵（information entropy）”。先来看看信息熵的定义：假如当前样本集D中第k类样本所占的比例为， 为类别的总数（对于二元分类来说，）。则样本集的信息熵为：




的值越小，则D的纯度越高。（这个公式也决定了信息增益的一个缺点：即信息增益对可取值数目多的特征有偏好（即该属性能取得值越多，信息增益，越偏向这个），因为特征可取的值越多，会导致“纯度”越大，即ent（D）会很小，如果一个特征的离散个数与样本数相等，那么Ent（D）值会为0）。再来看一个概念信息增益（information gain），假定离散属性 有 个可能的取值，如果使用特征 来对数据集D进行划分，则会产生V个分支结点， 其中第v（小v）个结点包含了数据集D中所有在特征 上取值为 的样本总数，记为。因此可以根据上面信息熵的公式计算出信息熵，再考虑到不同的分支结点所包含的样本数量不同，给分支节点赋予权重，即样本数越多的分支节点的影响越大，因此，能够计算出特征 对样本集D进行划分所获得的“信息增益”:


       一般而言，信息增益越大，则表示使用特征 对数据集划分所获得的“纯度提升”越大。所以信息增益可以用于决策树划分属性的选择，其实就是选择信息增益最大的属性，ID3算法就是采用的信息增益来划分属性。
下面来举个例子说明具体是怎样操作的，只贴公式没多大意义，还是有不利于大家理解。举例子用的数据集为：


    显然该数据集包含17个样本，类别为二元的，即。则，正例（类别为1的样本）占的比例为：，反例（类别为0的样本）占的比例为：。根据信息熵的公式能够计算出数据集D的信息熵为：

从数据集中能够看出特征集为：{色泽、根蒂、敲声、纹理、脐部、触感}。下面我们来计算每个特征的信息增益。先看“色泽”，它有三个可能的离值：{青绿、乌黑、浅白}，若使用“色泽”对数据集D进行划分，则可得到3个子集，分别为：

（色泽=青绿）、

（色泽=乌黑）、

（色泽=浅白）。

共包含6个样本{1，4，6，10，13，17}

，其中正例占

，反例占

。

包含6个样本{2，3，7，8，9，15}

，其中正例占

，反例

占。包含了5个样本{5，11，12，14，16}，其中正例占，反例占。因此，可以计算出用“色泽”划分之后所获得的3个分支结点的信息熵为：

因此，特征“色泽”的信息增益为：




同理可以计算出其他特征的信息增益：


比较发现，特征“纹理”的信息增益最大，于是它被选为划分属性。因此可得：


第二步、继续对上图中每个分支进行划分，以上图中第一个分支结点{“纹理=清晰”}为例，对这个结点进行划分，设该结点的样本集 {1，2，3，4，5，6，8，10，15}，共9个样本，可用特征集合为{色泽，根蒂，敲声，脐部，触感}，因此基于 能够计算出各个特征的信息增益：


比较发现，“根蒂”、“脐部”、“触感”这3个属性均取得了最大的信息增益，可以随机选择其中之一作为划分属性（不防选择“根蒂”）。因此可得：



第三步,继续对上图中的每个分支结点递归的进行划分，以上图中的结点{“根蒂=蜷缩”}为例，设该结点的样本集为{1，2，3，4，5}，共5个样本，但这5个样本的class label均为“好瓜”，因此当前结点包含的样本全部属于同一类别无需划分，将当前结点标记为C类（在这个例子中为“好瓜”）叶节点，递归返回。因此上图变为：


第四步，接下来对上图中结点{“根蒂=稍蜷”}进行划分，该点的样本集为 {6，8，15}，共有三个样本。可用特征集为{色泽，敲声，脐部，触感}，同样可以基于 计算出各个特征的信息增益，计算过程如下（写的比较详细，方便大家弄懂）：


（注：该图片版权所有，转载或使用请注明作者（天泽28）和出处）
不妨选择“色泽”属性作为划分属性，则可得到：


继续递归的进行，看“色泽=青绿”这个节点，只包含一个样本，无需再划分了，直接把当前结点标记为叶节点，类别为当前样本的类别，即好瓜。递归返回。然后对递归的对“色泽=乌黑”这个节点进行划分，就不再累述了。说下“色泽=浅白”这个节点，等到递归的深度处理完“色泽=乌黑”分支后，返回来处理“色泽=浅白”这个节点，因为当前结点包含的样本集为空集，不能划分，对应的处理措施为：将其设置为叶节点，类别为设置为其父节点（根蒂=稍蜷）所含样本最多的类别，“根蒂=稍蜷”包含{6,8,15}三个样本，6,8为正样本，15为负样本，因此“色泽=浅白”结点的类别为正（好瓜）。最终，得到的决策树如下图所示：


注：上图红色框起来的部分，是西瓜书印刷错误，上图已改正。周老师在他的勘误网站也有说明，详见勘误网站


说了这么多，下面就来看看用决策树算法跑出来的效果，本人主要用weka的ID3算法（使用的信息增益），以供大家参看，后面还会放出自己实现的版本，后面再说。（之所以不要sklearn库里的决策树，是因为sklearn库里的决策树提供的是使用Gini指数优化后的CART，并不提供ID3和C4.5算法）。
由于新版本weka里已经不再提供ID3算法了，只能下载另外的安装包，把下载方法也贴出来吧，打开weka的Tools->package manager在里面找到包simpleEducationalLearningSchemes安装即可。安装好后就可以把西瓜数据集2.0来测试了，不过要想在weka中构建模型，还要先把.txt格式转换为.arff格式，转换的代码以及转换好的数据集，详见github。另外simpleEducationalLearningSchemes提供的ID3并不像J48那样支持可视化，因此参考链接基于以前weka老版本写的可视化，但该代码在新版本中无法使用，我修改了下整合到ID3上了，现在可以支持可视化了，测试西瓜数据集，生成的可视化树如下，具体代码也放到了github上，有兴趣的可以看看。






但信息增益有个缺点就是对可取数值多的属性有偏好，举个例子讲，还是考虑西瓜数据集，如果我们把“编号”这一列当做属性也考虑在内，那么可以计算出它的信息增益为0.998，远远大于其他的候选属性，因为“编号”有17个可取的数值，产生17个分支，每个分支结点仅包含一个样本，显然这些分支结点的纯度最大。但是，这样的决策树不具有任何泛化能力。还是拿西瓜数据集2.0来测试下，如果考虑编号这一属性，看看ID3算法会生成一颗什么样的决策树：



显然是生成了一颗含有17个结点的树，这棵树没有任何的泛化能力，这也是ID3算法的一个缺点。另外补充一下ID3算法的详细情况：

• Class for constructing anunpruned decision tree based on the ID3 algorithm.
• Can only deal with nominal attributes. No missing values allowed.
• Empty leaves may result in unclassified instances. For more information see: R. Quinlan (1986). Induction of decision trees. Machine Learning. 1(1):81-106.
  

由于ID3算法的缺点，Quinlan后来又提出了对ID3算法的改进C4.5算法（在weka中为J48），C4.5使用了信息增益率来构造决策树，此外C4.5为了避免过拟合，还提供了剪枝的功能。C4.5还能够处理连续值与缺失值。剪枝与连续值和缺失值的处理在下一篇博客中再介绍。先来看看信息增益率：

• 信息增益率
  

信息增益比的定义为：

其中：

称为属性 的“固有值”，属性 的可能取值数目越多（即V越大），则的值通常会越大。例如还是对西瓜数据集，IV(触感）=0.874(v=2)，IV(色泽)=1.580（V=3），IV（编号）=4.088（V=17）。但增益率也可能产生一个问题就是，对可取数值数目较少的属性有所偏好。因此，C4.5算法并不是直接选择使用增益率最大的候选划分属性，而是使用了一个启发式算法：先从候选划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择信息增益率最高的。来看看C4.5在西瓜数据集上构造的决策树：

来看下混淆矩阵（Confusion Matrix）

有两个样本被误分类了。
另外还可以用基尼指数来构造决策树，像CART就是用基尼指数来划分属性的，来看下基尼指数：

• 基尼指数
  

        基尼指数（Gini index）也可以用于选择划分特征，像CART（classification and regression tree）决策树（分类和回归都可以用）就是使用基尼指数来选择划分特征。基尼值可表示为：

注：上面这个公式的推导可以写一下：

反应了从数据集D中随机抽取两个样本，其类别标记不一致的概率，因此， 越小，则数据集D的纯度越高。则属性 的基尼指数定义为：

所以在候选属性集合中国，选择那个使得划分后基尼指数最小的属性作为最优划分属性。
下面是用python的scikit-learn库中提供的CART在西瓜数据集上的测试效果：
17个样本全部拿来当做训练集：

拿出25%的样本当做测试集：


欢迎大家留言交流讨论。

很不错，受教了