一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的权值和边最小

一、最小生成树的应用

生成树和最小生成树有许多重要的应用。

例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权值的最小生成树。

构建最小生成树时最常用的方法就是prim算法和kruskal算法

二、图的入度和出度1.构建图的邻接矩阵

以上图中的图结构为例，由于图是顶点与顶点之间的连接关系，又带有权值，所以我们可以用邻接矩阵来表示图中顶点的关系

矩阵中的值代表顶点与顶点之间的权值，由于示例是一个无向图，所以这个矩阵是以对角线对称的

我们可以将矩阵看成一个二维数组，因此就可以很容易的创建出这个图的数据结构了

int[] graph0 = new int[]{0, 10, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 11, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT};

int[] graph1 = new int[]{10, 0, 18, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, MAX_WEIGHT, 12};

int[] graph2 = new int[]{MAX_WEIGHT, 18, 0, 22, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 8};

int[] graph3 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 22, 0, 20, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, 21};

int[] graph4 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 20, 0, 26, MAX_WEIGHT, 7, MAX_WEIGHT};

int[] graph5 = new int[]{11, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 26, 0, 17, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT};

int[] graph6 = new int[]{MAX_WEIGHT, 16, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 17, 0, 19, MAX_WEIGHT};

int[] graph7 = new int[]{MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 16, 7, MAX_WEIGHT, 19, 0, MAX_WEIGHT};

int[] graph8 = new int[]{MAX_WEIGHT, 12, 8, 21, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, MAX_WEIGHT, 0};

2.入度与出度

顶点的出边条数称为该顶点的出度

顶点的入边条数称为该项点的入度

则在矩阵中某个点的入度和出度即为横向和纵向的有效权值个数

/**

* 获取某个顶点的出度

*

* @param index 顶点序号

* @return 出度

*/

public int getOutDegree(int index) {

    int degree = 0;

    for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {

        int weight = matrix[index];

        if (weight > 0 && weight < MAX_WEIGHT) {

            degree++;

        }

    }

    return degree;

}

/**

* 获取某个顶点的入度

*

* @param index 顶点序号

* @return 入度

*/

public int getInDegree(int index) {

    int degree = 0;

    for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {

        int weight = matrix[index];

        if (weight > 0 && weight < MAX_WEIGHT) {

            degree++;

        }

    }

    return degree;

}

三、prim(普里姆)算法

算法思路：

定义一个临时的一维数组，用于存放可用的连接边，数组下标为顶点序号，值为权值

任选一个点作为起点，以起点的所有权值对数组进行初始化

找出数组中最小权值的边，即为最小生成树中的一条有效边

将找到的最小边在数组中赋值为0，代表已经使用过。并将数组与找到顶点的所有边进行比较，若顶点的边的权值比当前数组存放的可用边的权值小，则进行覆盖

重复循环2，3，4的操作直至遍历完所有顶点

算法代码：

/**

* 最小生成树，普里姆(prim)算法

*/

public void createMinSpanTreePrim() {

    // 定义一维数组，存放用于比较最小权值的顶点权值，0代表已经比较过

    int[] lowcost = new int[vertexSize];

    // 初始化数组为第一个顶点的权值

    System.arraycopy(matrix[0], 0, lowcost, 0, vertexSize);

    int sum = 0;

    // 循环比较

    for (int i = 0; i < vertexSize; i++) {

        // 先比较找出最小的权值节点

        int min = -1;

        for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {

            if (lowcost[j] > 0 && lowcost[j] < MAX_WEIGHT) {

                if (min == -1 || lowcost[min] > lowcost[j]) {

                    min = j;

                }

            }

        }

        // 判断是否全部为0，找不到最小值

        if (min == -1) {

            break;

        }

        System.out.println("访问到了节点：" + min + "，权值：" + lowcost[min]);

        sum += lowcost[min];

        // 将当前节点的值修改成0

        lowcost[min] = 0;

        // 将存放最小权值的数组与下一个节点的所有连接点对比，找出最小权值

        for (int j = 0; j < vertexSize; j++) {

            if (matrix[min][j] < lowcost[j]) {

                lowcost[j] = matrix[min][j];

            }

        }

    }

    System.out.println("最小生成树的权值总和：" + sum);

}

下图是画的一个针对此代码运行的流程图（画了半天发现在文章中显示的比较小，如果看起来觉得小的同学可以下载原图后放大观看）

绿色代表一维数组中存放的可用最小边

红色代表找到的最小生成树的边

四、kruskal(克鲁斯卡尔)算法

算法思路：

• 现将所有边进行权值的从小到大排序
• 定义一个一维数组代表连接过的边，数组的下标为边的起点，值为边的终点
• 按照排好序的集合用边对顶点进行依次连接，连接的边则存放到一维数组中
• 用一维数组判断是否对已经连接的边能构成回路，有回路则无效，没回路则是一条有效边
• 重复3，4直至遍历完所有的边为止，即找到最小生成树
  

首先将所有边按权值进行排序

定义一个边的对象

/**

* 连接顶点的边

*/

class Edge {

    private int start;

    private int end;

    private int weight;

    public Edge(int start, int end, int weight) {

        this.start = start;

        this.end = end;

        this.weight = weight;

    }

}

按照排序的图对边进行初始化

Edge edge0 = new Edge(4, 7, 7);

Edge edge1 = new Edge(2, 8, 8);

Edge edge2 = new Edge(0, 1, 10);

Edge edge3 = new Edge(0, 5, 11);

Edge edge4 = new Edge(1, 8, 12);

Edge edge5 = new Edge(3, 7, 16);

Edge edge6 = new Edge(1, 6, 16);

Edge edge7 = new Edge(5, 6, 17);

Edge edge8 = new Edge(1, 2, 18);

Edge edge9 = new Edge(6, 7, 19);

Edge edge10 = new Edge(3, 4, 20);

Edge edge11 = new Edge(3, 8, 21);

Edge edge12 = new Edge(2, 3, 22);

Edge edge13 = new Edge(3, 6, 24);

Edge edge14 = new Edge(4, 5, 26);

最小生成树算法代码：

/**

* kruskal算法创建最小生成树

*/

public void createMinSpanTreeKruskal() {

    // 定义一个一维数组，下标为连线的起点，值为连线的终点

    int[] parent = new int[edgeSize];

    for (int i = 0; i < edgeSize; i++) {

        parent = 0;

    }

    int sum = 0;

    for (Edge edge : edges) {

        // 找到起点和终点在临时连线数组中的最后连接点

        int start = find(parent, edge.start);

        int end = find(parent, edge.end);

        // 通过起点和终点找到的最后连接点是否为同一个点，是则产生回环

        if (start != end) {

            // 没有产生回环则将临时数组中，起点为下标，终点为值

            parent[start] = end;

            System.out.println("访问到了节点：{" + start + "," + end + "}，权值：" + edge.weight);

            sum += edge.weight;

        }

    }

    System.out.println("最小生成树的权值总和：" + sum);

}

/**

* 获取集合的最后节点

*/

private int find(int parent[], int index) {

    while (parent[index] > 0) {

        index = parent[index];

    }

    return index;

}

下图是画的一个针对此代码运行的流程图

• 红色代表找到的最小生成树的边
• 蓝色代表找到的边但是是回环则无效
  
  

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牛牛牛！

奈斯