3 方差
3.1 英文名称
variance

3.2 所属学科
概率论和统计

3.3 实际用途
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。标准差、方差越大，离散程度越大。反之,离散程度越小。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。

3.4 历史
“方差”（variance）这一词语率先由罗纳德·费雪（Ronald Fisher）在其论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。

3.5 定义
是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

3.6 公式
设 X 是一个随机变量，若

存在，则称 为 X 的方差，记为 D(X),Var(X)或 DX，其中 E(X)指的是对 X 的预期值，而 X 是实际值。即
称为方差。这里E{}只能理解为一个记号，真正的公式在这里：

右边的求和公式可以转换成更容易计算的形式：

说明

可以提取出来
用newlisp计算,实现代码如下：

; variance of a data vector X
(define (var X)
  (div (sum-d2 X) (sub (length X) 1)))
; sum of sqared differenses of X to mean of X
(define (sum-d2 X)
  (sub (sum-sq X) (div (mul (sum X) (sum X)) (length X))))
调用代码如下：

> (module "stat.lsp")
(lambda (stat:lst) (append (join (map string stat:lst) "\r\n") "\r\n"))
> (setf a '(1 2 3 1 4 5 7))
(1 2 3 1 4 5 7)
> (stat:var a)
4.904761904761905
4 标准差
(均方差)

4.1 英文名称
Standard Deviation

4.2 实际用途
由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。

4.3 公式
4.4 计算
newlisp 调用如下：

> (stat:sdev a)
2.214669705568283
5 协方差
5.1 英文名称
covariance

5.2 简介
从直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。方差是两个变量为同一个变量时的特殊的协方差。两个不同参数之间的方差就是协方差,若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。

5.3 公式
[]内部的乘法式子变换一下

将E[…]内部的都提取出来

E[..E(Y)] 这种计算方法是把E(Y)看成一个常数，可以提取到E外面，变成E[Y]E[…], 同理，E[E(X)E(Y))] => E(X)E(Y)

所有E()都统一写成E[]

5.4 计算性质
协方差的性质：

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), （a,b是常数）
Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
6 均值的标准误差
6.1 公式
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作者：csfreebird
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/csfreebird/article/details/53969530
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