设a和b的最大公约数是x。设a>b。
∵a%x=0,b%x=0
∴(b*n)%x=0
∴(a-b*n)%x=0.//同余具有可加减性。......[1]
设n=[a÷b]//取整除法,
则a-b*n就成为了a÷b的余数。
∴(a%b)%x=0......[2] //和[1]为相同的式子
于是a和b的最大公约数,同时也是a÷b的余数的最大公约数。
于是求最大公约数的时候,可以选择这3个数中,较小的两个数进行,不影响最大公约数的整除性。
因此使用取余的方法不断缩小a和b的值的时候,最大公约数的整除性仍然传递并且保留下来了。
最后当a%b=0的时候,b就被a整除了。于是在不断取余数的过程中,最大公约数就出现了。//while循环的终止条件是b=0 |