这是我碰到要求2个数的最大公约数时,卡壳卡很久的地方。百度出来都是怎么用辗转相除法,而好好没有解释这个方法为何能求出最大公约数。下面是终于查到的比较简洁好理解的解释:
设两数为a、b(b<a),用gcd(a,b)表示a,b的最大公约数,r=a mod b 为a除以b以后的余数,k为a除以b的商,即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。
第一步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc
第二步:根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步:可以断定m-kn与n互质【否则,可设m-kn=xd,n=yd,(d>1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)dc,b=nc=ycd,故a与b最大公约数成为cd,而非c,与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。
证毕。 |
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