XGBoost全名叫（eXtreme Gradient Boosting）极端梯度提升，经常被用在一些比赛中，其效果显著。它是大规模并行boosted tree的工具，它是目前最快最好的开源boosted tree工具包。下面我们将XGBoost的学习分为3步：①集成思想 ②损失函数分析 ③求解。我们知道机器学习三要素：模型、策略、算法。对于集成思想的介绍，XGBoost算法本身就是以集成思想为基础的。所以理解清楚集成学习方法对XGBoost是必要的，它能让我们更好的理解其预测函数模型。在第二部分，我们将详细分析损失函数，这就是我们将要介绍策略。第三部分，对于目标损失函数求解，也就是算法了。

一、集成思想

在学习XGBoost之前，我们得需要先明白集成思想。集成学习方法是指将多个学习模型组合，以获得更好的效果，使组合后的模型具有更强的泛化能力。另外XGBoost是以分类回归树(CART树)进行组合。故在此之前，我们先看下CART树(CART树具体原理请自行复习，或者可以留言)。如下，通过输入用户年龄、性别进行判断用户是否喜欢玩游戏的得分值。由此得到一颗CART树模型。

我们知道对于单个的决策树模型容易出现过拟合，并且不能在实际中有效应用。所以出现了集成学习方法。如下图，通过两棵树组合进行玩游戏得分值预测。其中tree1中对小男生的预测分值为2，tree2对小男生的预测分值为0.9。则该小男生的最后得分值为2.9。

将上面集成学习方法推广到一般情况，可知其预测模型为：

其中为树的总个数，表示第颗树，表示样本的预测结果。

损失函数为：

其中为样本的训练误差，表示第颗树的正则项。

二、损失函数

上面一部分我们知道了集成学习方法的预测模型，因为XGBoost也是集成学习方法的一种。对于XGBoost的预测模型同样可以表示为：

其中为树的总个数，表示第颗树，表示样本的预测结果。

其中损失函数也同样表示为：

其中为样本的训练误差，表示第棵树的正则项。

看到了这里，我们可能会想到，现在知道了模型预测函数和损失函数，那我们是不是直接就能求出其预测模型了呢？答案肯定不是，我们首先需要明确知道优化和求解的参数是什么呢？由上面的预测模型中，我们可以看到对于每棵树的预测值 是如何计算的？想到这里，你就已经知道了需要做的事了，我需要求解和优化的就是每个叶子节点的得分值，也就是 的值。另外 我们知道XGBoost是以CART树中的回归树作为基分类器，在给定训练数据后，其单个树的结构(叶子节点个数、树深度等等)基本可以确定了。但XGBoost并不是简单重复的将几个CART树进行组合。它是一种加法模型，将模型上次预测(由t-1棵树组合而成的模型)产生的误差作为参考进行下一棵树(第t棵树)的建立。以此，每加入一棵树，将其损失函数不断降低。如下图就为加法模型案例，它将模型预测值与实际值残差作为下一颗树的输入数据。

对于加法策略可以表示如下：

初始化(模型中没有树时，其预测结果为0)：

往模型中加入第一棵树：

往模型中加入第二棵树：

…

往模型中加入第t棵树：

其中表示第棵树，表示组合棵树模型对样本的预测结果。

我们知道，每次往模型中加入一棵树，其损失函数便会发生变化。另外在加入第t棵树时，则前面第t-1棵树已经训练完成，此时前面t-1棵树的正则项和训练误差都成已知常数项。对于每棵树的正则项部分，我们将在后面再细说。

如果损失函数采用均方误差时，其目标损失函数变为：

另外对于目标损失函数中的正则项(复杂度)部分，我们从单一的树来考虑。对于其中每一棵回归树，其模型可以写成：

其中为叶子节点的得分值，表示样本对应的叶子节点。为该树的叶子节点个数。

因此，在这里。我们将该树的复杂度写成：

复杂度计算例子如下：

此时，对于XGBoost的目标函数我们可以写为：

三、求解

在推导之前，我们先介绍下泰勒展开式：

这里我们用泰勒展开式来近似原来的目标函数，将看作。则原目标函数可以写成：

令，，同时对于第t棵树时，为常数。同时去除所有常数项。故目标损失函数可以写成：

由上面介绍书的复杂度时，我们知道：，同时我们将目标函数全部转换成在第t棵树叶子节点的形式。因为目前对于可以看做是每个样本在第t棵树的叶子节点得分值相关函数的结果之和，所以我们也能从第t棵树的叶子节点上来表示。

其中为第t棵树中总叶子节点的个数，表示在第个叶子节点上的样本，为第个叶子节点的得分值。

在这里，令，。

则：

对求偏导，并使其导函数等于0，则有：

求解得：

其目标函数可以为：

到此，推导完成。

奈斯，很赞