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© 庭院深深深几许 金牌黑马   /  2019-4-17 11:31  /  694 人查看  /  0 人回复  /   0 人收藏 转载请遵从CC协议 禁止商业使用本文

  一、什么是二分查找?
  二分查找针对的是一个有序的数据集合,每次通过跟区间中间的元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间缩小为0。
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  二、时间复杂度分析?
  1.时间复杂度
  假设数据大小是n,每次查找后数据都会缩小为原来的一半,最坏的情况下,直到查找区间被缩小为空,才停止。所以,每次查找的数据大小是:n,n/2,n/4,…,n/(2k),…,这是一个等比数列。当n/(2k)=1时,k的值就是总共缩小的次数,也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较,所以,经过k次区间缩小操作,时间复杂度就是O(k)。通过n/(2k)=1,可求得k=log2n,所以时间复杂度是O(logn)。
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  2.认识O(logn)
  ①这是一种极其高效的时间复杂度,有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么?
  ②因为logn是一个非常“恐怖“的数量级,即便n非常大,对应的logn也很小。比如n等于2的32次方,也就是42亿,而logn才32。
  ③由此可见,O(logn)有时就是比O(1000),O(10000)快很多。
  三、如何实现二分查找?
  1.循环实现
  代码实现:
  public int binarySearch1(int[] a, int val) {
  int start = 0;
  int end = a.length - 1;
  while (start <= end) {
  int mid = start + (end - start) / 2;
  if (a[mid] > val) {
  end = mid - 1;
  } else if (a[mid] < val) {
  start = mid + 1;
  } else {
  return mid;
  }
  }
  return -1;
  }
  注意事项:
  ①循环退出条件是:start<=end,而不是start<end。 <="" end。
  ②mid的取值,使用mid=start + (end - start) / 2,而不用mid=(start + end) / 2,因为如果start和end比较大的话,求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致,可以将除以2转换成位运算,即start + ((end - start) >> 1),因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。
  ③start和end的更新:start = mid - 1,end = mid + 1,若直接写成start = mid,end = mid,就可能会发生死循环。
  2.递归实现
  public int binarySearch(int[] a, int val) {
  return bSear(a, val, 0, a.length - 1);
  }
  private int bSear(int[] a, int val, int start, int end) {
  if (start > end) { return -1; }
  int mid = start + (end - start) / 2;
  if (a[mid] == val) {
  return mid;
  } else if (a[mid] > val) {
  end = mid - 1;
  } else {
  start = mid + 1;
  }
  return bSear(a, val, start, end);
  }
  12345678910111213141516
  四、使用条件(应用场景的局限性)
  1.二分查找依赖的是顺序表结构,即数组。
  2.二分查找针对的是有序数据,因此只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。
  3.数据量太小不适合二分查找,与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外,就是数据之间的比较操作非常费时,比如数组中存储的都是长度超过300的字符串,那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
  4.数据量太大也不是适合用二分查找,因为数组需要连续的空间,若数据量太大,往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
  五、四种常见的二分查找变形问题
  “十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单,但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。
  1.查找第一个值等于给定值的元素
  2.查找最后一个值等于给定值的元素
  3.查找第一个大于等于给定值的元素
  4.查找最后一个小于等于给定值的元素
  public class BinarySearch2 {
  public int bsearch1(int[] a, int value) {
  int low = 0;
  int high = a.length - 1;
  while (low <= high) {
  int mid = low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] > value) {
  high = mid - 1;
  } else if (a[mid] < value) {
  low = mid + 1;
  } else {
  if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) {
  return mid;
  } else {
  high = mid - 1;
  }
  }
  }
  return -1;
  }
  public int bsearch2(int[] a, int value) {
  int low = 0;
  int high = a.length - 1;
  while (low <= high) {
  int mid = low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] > value) {
  high = mid - 1;
  } else if (a[mid] < value) {
  low = mid + 1;
  } else {
  if ((mid == a.length - 1) || (a[mid + 1] != value)) {
  return mid;
  } else {
  low = mid + 1;
  }
  }
  }
  return -1;
  }
  public int bsearch3(int[] a, int value) {
  int low = 0;
  int high = a.length - 1;
  while (low <= high) {
  int mid = low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] >= value) {
  if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) {
  return mid;
  } else {
  high = mid - 1;
  }
  } else {
  low = mid + 1;
  }
  }
  return -1;
  }
  public int bsearch4(int[] a, int value) {
  int low = 0;
  int high = a.length - 1;
  while (low <= high) {
  int mid = low + ((high - low) >> 1);
  if (a[mid] > value) {
  high = mid - low;
  } else {
  if ((mid == a.length - 1) || (a[mid + 1] > value)) {
  return mid;
  } else {
  low = mid + 1;
  }
  }
  }
  return -1;
  }
  }
  六、适用性分析
  1.凡事能用二分查找解决的,绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树,即便二分查找在内存上更节省,但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
  2.求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么用到,二分查找更适合用在”近似“查找问题上。比如上面讲几种变体。
  七、思考
  如何在 1000 万个整数中快速查找某个整数?
  这个问题并不难。我们的内存限制是 100MB,每个数据大小是 8 字节,最简单的办法就是将数据存储在数组中,内存占用差不多是 80MB,符合内存的限制。我们可以先对这 1000 万数据从小到大排序,然后再利用二分查找算法,就可以快速地查找想要的数据了。
  看起来这个问题并不难,很轻松就能解决。实际上,它暗藏了“玄机”。如果你对数据结构和算法有一定了解,知道散列表、二叉树这些支持快速查找的动态数据结构。你可能会觉得,用散列表和二叉树也可以解决这个问题。实际上是不行的。
  虽然大部分情况下,用二分查找可以解决的问题,用散列表、二叉树都可以解决。但是,不管是散列表还是二叉树,都会需要比较多的额外的内存空间。如果用散列表或者二叉树来存储这 1000 万的数据,用 100MB 的内存肯定是存不下的。而二分查找底层依赖的是数组,除了数据本身之外,不需要额外存储其他信息,是最省内存空间的存储方式,所以刚好能在限定的内存大小下解决这个问题。



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