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数据结构与算法

在学习数据结构和算法之前,首先要搞懂怎样分析一个程序的的复杂度,也就是程序的执行效率。

数据结构的三个方面:数据的逻辑结构,数据的存储结构(数据的物理结构),数据的运算。

算法的基本要素:数据对象 基本运算和操作



数据之间的关系成为数据的逻辑结构,数据的逻辑结构通常分为以下四类:

- 集合   结构中的数据元素除了同属于一种类型外,别无其它关系。
- 线性结构    结构中的数据元素之间存在一对一的关系。
- 树型结构    结构中的数据元素之间存在一对多的关系。
- 图状结构或网状结构   结构中的数据元素之间存在多对多的关系。

存储结构:

- 顺序存储结构:用数据元素在存储器中的相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系。
- 链式存储结构:在每一个数据元素中增加一个存放地址的指针,用此指针来表示数据元素之间的逻辑关系。

1.1 复杂度分析

为什么要学会复杂度分析,你可能会说,要知道这个程序的执行效率,将他运行测试一次不就好了吗?这种方法在数据结构中呗称为事后统计法,但是,这种统计方法有非常大的局限性。例如:物理环境,数据规模。

时间复杂度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)

在刚才提到的时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。

一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

有时候,算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集不同而不同,如在冒泡排序中,输入数据有序而无序,其结果是不一样的。此时,我们计算平均值。

常见的算法的时间 复杂度之间的关系为:

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlog n)<O(n2)<O(2n)<O(n!)<O(nn)

那么如何计算时间复杂的呢?

实例1

   

      sum=0;                        //(1)
         for(i=1;i<=n;i++)             //(2)
            for(j=1;j<=n;j++)       //(3)
             sum++;                     //(4)

语句(1)执行1次,

语句(2)执行n次

语句(3)执行n2次

语句(4)执行n2次

T(n) = 1+n+2n2= O(n2)

实例2

         a=0; b=1;           //(1)
        for (i=1;i<=n;i++)   //(2)
        {
           s=a+b;        //(3)
           b=a;         //(4)
           a=s;         //(5)
                    }

语句(1)执行1次,

语句(2)执行n次

语句(3)、(4)、(5)执行n次

T(n) = 1+4n =O(n)

实例3

        i=1;            //(1)
        while (i<=n)
             i=i*2;       //(2)

语句(1)的频度是1,

设语句2的频度是f(n),则:2f(n)<=n;f(n)<=log2n   

取最大值f(n)= log2n,

T(n)=O(log2n )

空间复杂度

- 定义:算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法的空间复杂度的计算公式记作:S(n)=O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

一般来说,计算复杂度指的是时间复杂度。在我们降低了时间复杂度之后,相应的会提高算法的空间复杂度。一定情况下来说,遵循一个复杂度守恒定律”,当然并不存在复杂度守恒定律”。只是相对来说。;

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