本帖最后由 社会佩奇 于 2019-9-18 10:59 编辑
斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第 n 项（n∈N*） 那么这句话可以写成如下形式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)
设计一个函数，调用该函数传入 n，可以计算 斐波那契数列 第n项 的数字 [JavaScript] 纯文本查看 复制代码 function fib(n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1
return fib(n - 1) + fib(n - 2)
}
递归树
例 n=20 时，红色圈出的 fib(18)被计算了 2 次，以 fib(18)为根的递归树体量巨大，消耗巨量时间。 且不止一个类似 fib(18)被重复计算。 原始递归版效率极低。
可以通过下图看出，红色是调用 fib 函数传入的 n 值 当 n 值为 46 时，需要的总时间已经突破10s 当 n 值为 47 时，需要的总时间已经需要29s！ 计算时间呈指数级爆炸！ 时间复杂度为 O(2^n)
[JavaScript] 纯文本查看 复制代码 var fibHelper = {}
function fib(n) {
if (n == 1 || n == 2) return 1
if (fibHelper[n]) return fibHelper[n]
fibHelper[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2)
return fibHelper[n]
}
递归树
递归树剪枝：把已经计算过的 n 值存到字典中，需要用时直接查字典 所有的 n 值计算 1 次就行了，极大减少了子节点重复计算的问题 计算方向是自顶向下的
直接计算 n = 47，需要的总时间仅需6.29ms，同原始递归版比较不是一个数量级 时间复杂度是 O(n)
[JavaScript] 纯文本查看 复制代码 function fib(n) {
var arr = [0]
arr[1] = arr[2] = 1
for (let i = 3; i <= n; i++) {
arr = arr[i - 1] + arr[i - 2]
}
return arr[n]
}
图解
通项公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2) f(n) 看做时状态 n，这个状态 n 是 状态 n-1 和 状态 n-2 相加转移而来，就是状态转移
同样计算n = 47，动态规划版 和 字典递归版 在耗时上几乎没有差别 当前状态只和之前的两个状态有关，其实并不需要 数组 arr 来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。所以，可以进一步优化：
优化后,空间复杂度降为 O(1) [JavaScript] 纯文本查看 复制代码 function fib(n) {
if (n < 2) return n
let [prev, curr] = [1, 1]
for (let i = 1; i < n - 1; i++) {
let sum = prev + curr;
[prev, curr] = [curr, sum]
}
return curr
}
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