一个字符串S，去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列，该子序列在两个序列中以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。
例如序列X=ABCBDAB，Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。
寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素，则X有2^m个子序列，指数级的时间，对长序列不实际。
使用动态规划求解这个问题，先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出
如果xm=yn，则LCS ( X,Y ) = xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。
如果xm!=yn，则LCS( X,Y )= max{ LCS ( Xm-1, Y ), LCS ( X, Yn-1 ) }
LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS，可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS，等等.
DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0，公共子序列LCS长度为0，即dp[i][j]=0，所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为
dp[i][j] = 0 如果i=0或j=0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 如果X[i-1] = Y[i-1]
dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] } 如果X[i-1] != Y[i-1]
求出了最长公共子序列的长度后，输出LCS就是输出dp的最优方案了，这在01背包中已经讲过，既可以用一个额外的矩阵存储路径，也可以直接根据状态转移矩阵倒推最优方案。代码如下：
[cpp]
#include <iostream>
using namespace std;
/* LCS
* 设序列长度都不超过20
*/
int dp[21][21]; /* 存储LCS长度, 下标i,j表示序列X,Y长度 */
char X[21];
char Y[21];
int i, j;
void main()
{
cin.getline(X,20);
cin.getline(Y,20);
int xlen = strlen(X);
int ylen = strlen(Y);
/* dp[0-xlen][0] & dp[0][0-ylen] 都已初始化0 */
for(i = 1; i <= xlen; ++i)
{
for(j = 1; j <= ylen; ++j)
{
if(X[i-1] == Y[j-1])
{
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else if(dp[i][j-1] > dp[i-1][j])
{
dp[i][j] = dp[i][j-1];
}else
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
printf("len of LCS is: %d\n", dp[xlen][ylen]);
/* 输出LCS 本来是逆序打印的，可以写一递归函数完成正序打印
这里采用的方法是将Y作为临时存储LCS的数组，最后输出Y
*/
i = xlen;
j = ylen;
int k = dp[i][j];
Y[k] = '\0';
while(i && j)
{
if(dp[i][j] == dp[i-1][j-1] + 1)
{
Y[--k] = X[i-1];
--i; --j;
}else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1])
{
--i;
}else
{
--j;
}
}
printf("%s\n",Y);
}
在LCS问题中，如果仅仅要求求出LCS的长度，而不要求输出序列，那么由于每步迭代都只用到了前面的状态，之前的信息便无用了，我们就可以使用滚动数组了，代码如下：
[cpp]
#include <iostream>
using namespace std;
/* 滚动数组 */
int dp[2][21]; /* 存储LCS长度 */
char X[21];
char Y[21];
int i, j, k;
void main()
{
cin.getline(X,20);
cin.getline(Y,20);
int xlen = strlen(X);
int ylen = strlen(Y);
for(i = 1; i <= xlen; ++i)
{
k = i & 1;
for(j = 1; j <= ylen; ++j)
{
if(X[i-1] == Y[j-1])
{
dp[k][j] = dp[k^1][j-1] + 1;
}else if(dp[k][j-1] > dp[k^1][j])
{
dp[k][j] = dp[k][j-1];
}else
{
dp[k][j] = dp[k^1][j];
}
}
}
printf("len of LCS is: %d\n", dp[k][ylen]);
}
LCS在输出子序列时，忽略了测试条件，勘误如下：
[cpp]
i = xlen;
j = ylen;
int k = dp[i][j];
char lcs[21] = {'\0'};
while(i && j)
{
if(X[i-1] == Y[j-1] && dp[i][j] == dp[i-1][j-1] + 1)
{
lcs[--k] = X[i-1];
--i; --j;
}else if(X[i-1] != Y[j-1] && dp[i-1][j] > dp[i][j-1])
{
--i;
}else
{
--j;
}
}
printf("%s\n",lcs); |
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