|
[size=14.3999996185303px]现在只有两个鸡蛋，而算法必须在各种合法输入下都是可行的，就是说要能找出这一层来，你得假设你的运气最差，这就意味着，我求解的是[size=14.3999996185303px]在每种扔鸡蛋的策略下都有一个需要扔的次数的最大值，而现在需要求解的是这些最大值中的最小值的问题。如果我只有一枚鸡蛋，这就意味着，我只能从第一层开始老老实实地一层一层往上试，不能越层；而我的运气非常非常差，于是我这样试验的结果就是一直试验到最高一层鸡蛋依然没破，试验的次数就等于楼层数N。 [size=14.3999996185303px][size=14.3999996185303px]动态规划法求解 [size=14.3999996185303px]现在，我有两枚鸡蛋，第一枚鸡蛋从哪一层楼开始扔就显得至关重要了。如果第一枚鸡蛋碎了，那就回到刚说的只有一枚鸡蛋的问题了。我相信很多人立即映射到脑子里的词是“二分法”，也就是说，第一枚鸡蛋从N/2开始扔，如果碎了，扔的楼层数就是N/2（注意取整）；如果没碎，剩下N/2楼层里继续用二分法。可以预计，如果没碎的情况，扔鸡蛋的总次数要小于N/2。也就意味着，还有潜力可挖，如果不用二分法，让扔第一枚鸡蛋的楼层数为x，它小于N/2；同时如果第一枚鸡蛋没碎，接下去的策略，在运气最差的情况下仍然让扔的次数等于x，就最经济了。 [size=14.3999996185303px]最常规的解法是动态规划。可以用动态规划法求解的问题必须满足这样的条件，分割成的子问题是最优解的时候，原问题也是最优解。显然这个问题满足这一点：假设扔的总次数为f(x)，在第一次扔碎了的情况下，接下去只能一层一层试验，最多从第1层到第x-1层需要试验x-1次，加上扔第一个鸡蛋那一次，总的次数就是(x-1)+1=x；在第一次没碎的情况下，就相当于一个新的相似子问题：在N-x层中寻找新的扔鸡蛋次数f(N-x)，因此总次数就是f(N-x)+1。那么： f(x)=max(x, f(N-x)+1)
[size=14.3999996185303px]同时，递归求解的出口是：当x=1，f(x)=1。所以，算法大致如下： [size=14.3999996185303px][size=1em][size=1em]1
[size=1em]2
[size=1em]3
[size=1em]4
[size=1em]5
[size=1em]6
[size=1em]7
[size=1em]8
[size=1em]9
[size=1em]10
[size=1em]11
[size=1em]12
[size=1em]13
[size=1em]14
[size=1em]15
[size=1em]16
[size=1em]17
[size=1em]18
[size=1em]19
[size=1em]20
[size=1em]21
[size=1em]22
[size=1em]23
[size=1em]24
[size=1em]25
[size=1em]26
[size=1em]27
[size=1em]28
[size=1em]29
[size=1em]30
[size=1em]31
[size=1em]32
[size=1em]33
| [size=1em][size=1em]// times表示N取值为i的时候，需要扔多少次
[size=1em]private static int[] times;
[size=1em]public static int dropEgg(int N) {
[size=1em] // 初始化数组
[size=1em] times = new int[N + 1];
[size=1em] return dp(N);
[size=1em]}
[size=1em]private static int dp(int N) {
[size=1em] // 两层楼或一层楼就没有计算的必要了
[size=1em] if (1 == N)
[size=1em] return 1;
[size=1em] else if (2 == N)
[size=1em] return 2;
[size=1em] for (int x = 2; x < N; x++) {
[size=1em] int max = maxTimes(N, x);
[size=1em] if (0 == times[N] || times[N] > max)
[size=1em] times[N] = max;
[size=1em] }
[size=1em] return times[N];
[size=1em]}
[size=1em]// 碎和不碎的次数最大值
[size=1em]private static int maxTimes(int N, int x) {
[size=1em] int sum = dp(N - x) + 1;
[size=1em] if (x < sum)
[size=1em] return sum;
[size=1em] else
[size=1em] return x;
[size=1em]}
|
[size=14.3999996185303px][size=14.3999996185303px]“两个鸡蛋”到“m个鸡蛋” [size=14.3999996185303px]现在把问题扩展一下，由两个鸡蛋扩展到m个鸡蛋，times数组第一维表示最多可以扔几次，第二维表示扔第几次： [size=14.3999996185303px][size=1em][size=1em]1
[size=1em]2
[size=1em]3
[size=1em]4
[size=1em]5
[size=1em]6
[size=1em]7
[size=1em]8
[size=1em]9
[size=1em]10
[size=1em]11
[size=1em]12
[size=1em]13
[size=1em]14
[size=1em]15
[size=1em]16
[size=1em]17
[size=1em]18
[size=1em]19
[size=1em]20
[size=1em]21
[size=1em]22
[size=1em]23
[size=1em]24
[size=1em]25
[size=1em]26
[size=1em]27
[size=1em]28
| [size=1em][size=1em]public static int dropEgg(int N, int m) {
[size=1em] // 初始化数组
[size=1em] times = new int[m + 1][N + 1];
[size=1em] return dp(N, m);
[size=1em]}
[size=1em]private static int dp(int N, int m) {
[size=1em] if (1 == m || 1 == N || 2 == N)
[size=1em] return N;
[size=1em] for (int time = 2; time <= m; time++)
[size=1em] for (int x = 2; x < N; x++) {
[size=1em] int max = maxTimes(N, x, time);
[size=1em] if (0 == times[time][N] || times[time][N] > max)
[size=1em] times[time][N] = max;
[size=1em] }
[size=1em] return times[m][N];
[size=1em]}
[size=1em]// 碎和不碎的次数最大值
[size=1em]private static int maxTimes(int N, int x, int m) {
[size=1em] int sum = dp(N - x, m) + 1;
[size=1em] if (x < sum)
[size=1em] return sum;
[size=1em] else
[size=1em] return x;
[size=1em]}
|
| 
收藏
淘帖
踩
