在微积分的课本中，经常可以见到这种问题：

你可能会说，为什么分子分母都有(x-1)呢？

很明显，分母不能为0，如果函数x=1时，是没有定义的。如果把(x-1)消掉，仅仅用3x的话，实际上除了x=1有个空洞外，

它和y=3x是一样的，而在函数无定义处取极限是很有趣的。

书上的要求是要证明这个极限。但我们应该知道这个极限应该等于3。

我们来证明一下：

我们来用极限的定义。

证明：

如果给定一个0" class="mathcode" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cepsilon%20%3E0" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; max-width: 100%; word-break: break-all; cursor: zoom-in;">，存在一个 0" class="mathcode" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%3E%200" style="box-sizing: border-box; outline: 0px; max-width: 100%; word-break: break-all; cursor: zoom-in;">，

记住，决定决定f(x)距极限值的距离。

只要x和极限点的距离，也就是x和1的距离小于。（记住，x不能正好取在极限点上，因为那里函数无定义）

这个函数值和极限值的距离也就是和3的距离。

接下来我们把作为突破口。我们先消掉(x-1)。这时你可能会说，我们不能这么做，当x不等于1才能消掉。

不用担心，现在是可以消去的，因为我们考虑只是x趋向于1，并不包括x=1。

我们来化简：

我们得到了：

    （等价于）     

也就是说，当x和1的距离小于时，这个式子成立。

所以我们可以取为我们的，记住，关键点在于：给出一个，也就是给定一个距离。

函数值和极限点的距离小于给出的数，也就是函数值至少和极限值相距那么近。

就是函数值和极限值的距离。那么根据我们得到的，我们可以说：

当x和1的距离（或者可以说x和极限点的距离）小于的时候才能满足要求。所以完成了这个数学证明过程。

我把这个方程画出来，有助于理解：

假设时，我们得到：

如果想函数和极限值的距离不超过1，也就是说，所以这段距离是1，如图：

确保函数值和极限值的距离不超过1，只需要取它的三分之一。也就是x和1这段距离是它的三分之一。

或者这么说，把放入图中，可以得到如图：

这样就完成了证明，因为这意味着无论给出什么都可以找到一个，因为无论给出的是多少，总可以找到对应的。

所以这就是利用极限的定义。证明了该函数，当x趋近1时的极限值是3。

奈斯