一.线性回归的定义
线性回归算法属于监督学习的一种，主要用于模型为连续函数的数值预测。

线性回归算法整体思路：
线性回归属于监督学习，因此方法和监督学习应该是一样的，

先给定一个训练集，
根据这个训练集学习出一个线性函数
然后测试这个函数训练的好不好（即此函数是否足够拟合训练集数据）
挑选出最好的函数（cost function最小）即可
(a) 根据给定数据架设预测函数h(x)
(b) 计算代价函数J
(c) 计算各参数偏导
(d) 更新参数
(e) 重复2~4直到代价函数跟新的步长小于设定值或者是重复次数达到预设值。
注意：
(1)因为是线性回归，所以学习到的函数为线性函数，即直线函数；
(2)因为是单变量，因此只有一个x；

二. 单变量线性回归
我们能够给出单变量线性回归的模型：
从上面“方法”中，我们肯定有一个疑问，怎么样能够看出线性函数拟合的好不好呢？
我们需要使用到Cost Function（代价函数）
代价函数越小，说明线性回归地越好（和训练集拟合地越好），
当然最小就是0，即完全拟合；

-给定输入向量x，输出向量y，theta向量
然后输出 Cost值；

三 最小二乘法
Normal Equation最常用的就是最小二乘法。
对θθ矩阵求导，得到其最优解为
θ^∗=(XTX)−1XTyθ^∗=(XTX)−1XTy
四 梯度下降法
梯度下降法（Gradient Descent）需要根据平方误差，定义该线性回归模型的损失函数（Cost Function）：
J(θ)=J(θ0,θ1,...,θn)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2J(θ)=J(θ0,θ1,...,θn)=12m∑i=1m(hθ(x(i))−y(i))2
线性回归的损耗函数的值与回归系数θ的关系是碗状的，只有一个最小点。线性回归的求解过程如同Logistic回归，区别在于学习模型函数hθ(x)不同.
五 局部加权线性回归
线性回归的一个问题是有可能出现欠拟合现象，因为它求的是具有最小均方误差的无偏估计。显而易见，如果模型欠拟合将不能取得最好的预测效果。所以有些方法允许在估计中引人一些偏差，从而降低预测的均方误差。其中的一个方法是局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression, LWLR )。在该算法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重.于是公式变为:
θ^=(XTWX)−1XTWyθ^=(XTWX)−1XTWy
W是（m,m）矩阵，m表示样本数。
LWLR使用 “核”（与支持向量机中的核类似）来对附近的点赋予更高的权重。核的类型可以自由选择，最常用的核就是高斯核，高斯核对应的权重如下：
w(i,i)=exp(|x(i)−x|−2k2)w(i,i)=exp(|x(i)−x|−2k2)
k需要优化选择.
局部加权线性回归也存在一个问题，即增加了计算量，因为它对每个点做预测时都必须使用整个数据集，而不是计算出回归系数得到回归方程后代入计算即可。因此该算法不被推荐。
---------------------
作者：lgy54321
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/lgy54321/article/details/82974192
版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！